Massa

Noccioli centrale d’inerzia di una sezione rettangolare.

Definizione – Etimologia

Dal greco máza, impasto o pasta, indica un insieme di particelle che formano un solo corpo. Grandezza caratteristica dei corpi che determina il loro comportamento dinamico quando soggetti a forze esterne, sulla base della seconda legge di Newton, che, scritta per il punto materiale di massa “m”, è descritta dall’equazione vettoriale F = ma, dove F è la forza agente e “a” è l’accelerazione della massa nella direzione della forza F.

Nel caso la massa sia sottoposta all’accelerazione di gravità “g”, la forza F, avente direzione verticale discendente, indica il peso del corpo; massa e peso sono pertanto direttamente proporzionali.

Generalità

Nelle costruzioni le masse delle strutture portanti e dei loro elementi portati, in quanto immerse nel campo gravitazionale, determinano i carichi verticali discendenti che agiscono in modo permanente. Rappresentano delle forze di volume in quanto dipendono dal volume dei materiali strutturali presenti e dalla densità dei materiali stessi (massa per unità di volume). Le masse variabili nel tempo determinano invece carichi accidentali (per esempio quelli sui solai sono definiti per legge in base alla destinazione d’uso della costruzione).

Quando soggette ad accelerazioni diverse da quella di gravità, le masse presenti in una costruzione determinano delle forze inerziali. Il caso più importante è quello delle azioni sismiche sulle costruzioni: nel caso di sisma, infatti, le masse presenti sono soggette ad accelerazioni, indotte dallo scuotimento del terreno di fondazione, che dipendono appunto dalle proprie masse e dai rapporti che intercorrono tra le caratteristiche dinamiche del sisma e le caratteristiche dei modi propri di vibrare delle strutture.

Dato che le accelerazioni subite dalle masse strutturali soggette a sisma hanno componenti verticali e orizzontali che inducono, conseguentemente, forze inerziali verticali e orizzontali, un metodo per studiare gli effetti delle azioni sismiche è pertanto quello di applicare, alla struttura, forze statiche orizzontali e verticali, proporzionali alle proprie masse, che producano effetti equivalenti a quelli prodotti dalle forze inerziali agenti. Un ulteriore metodo per valutare le azioni sismiche è quello della cosiddetta ”analisi modale”, che si basa sul rapporto fra i modi propri di vibrare e le caratteristiche dinamiche del sisma.

La massa delle strutture influisce infatti sul comportamento dinamico proprio delle strutture. In particolare i modi di vibrare propri di una struttura dipendono dalla sua massa e dalla sua rigidezza (il periodo proprio di una struttura è proporzionale alla radice quadrata del rapporto massa/rigidezza). Nel caso di analisi dinamica modale di una struttura, per ogni modo proprio di vibrare vengono, pertanto, definite le masse partecipanti al modo come aliquota della massa totale. In genere i primi modi di vibrare di una struttura sono quelli che hanno maggiore massa partecipante.

Particolare rilevanza per la scienza delle costruzioni ha la “Geometria delle masse”, che è una branca della meccanica la quale studia le proprietà delle masse in relazione alla loro distribuzione nello spazio. Seppure nella realtà delle costruzioni la distribuzione delle masse sia continua e spaziale, in numerose applicazioni sono accettabili approssimazioni che ipotizzano distribuzioni piane (per esempio in un impalcato) o lineari (per esempio in una trave). Inoltre si considerano talvolta sistemi discreti di massa concentrati in punti materiali.

Una entità fondamentale è quella del “centro di massa”. La sua definizione deriva dalla meccanica dei corpi gravitazionali ed è quella di centro di gravità o baricentro. Nei corpi pesanti le masse sono soggette a dei vettori di forza peso paralleli: la risultante di tali vettori passa per il baricentro. Immaginando di ruotare questi vettori paralleli si trova che la loro risultante passa sempre per un punto, che è detto baricentro. Ad esempio prendendo i vettori delle forze peso verticali e orizzontali si trovano due risultanti, una verticale e una orizzontale che definiscono la posizione del baricentro, ovvero del centro di massa (essendo g costante).

Nell’ambito della “Geometria delle masse” si definisce il momento statico (momento del I° ordine) rispetto a un punto l’integrale (per distribuzioni continue), o la somma (per distribuzioni discrete), delle masse elementari moltiplicate per le rispettive distanze (con segno) da un punto. Rispetto a un piano il momento statico è definito come l’integrale, o la somma, delle masse elementari per le distanze (con segno) dal piano. Si può dimostrare che il momento statico rispetto a un piano baricentrico è sempre nullo.

Se una distribuzione di masse ha un piano di simmetria (anche obliqua) il baricentro appartiene a tale piano di simmetria e il momento statico rispetto a tale piano risulta nullo. Si definiscono poi i momenti d’inerzia (momenti del II° ordine) rispetto a un asse e a un punto come l’integrale, o la somma, delle masse elementari moltiplicate per le rispettive distanze al quadrato dall’asse o dal punto. Tali momenti assumono sempre valori positivi. La geometria delle masse applicata al caso di distribuzioni piane continue di masse, in cui la densità è assunta di valore unitario, si definisce “geometria delle aree” di figure geometriche. Lo studio della geometria delle aree è fondamentale nella scienza delle costruzioni per determinare le proprietà inerziali delle sezioni trasversali di strutture con geometria prevalentemente monodimensionale.

Come nella “Geometria delle masse”, anche nella geometria delle aree si definiscono il momento statico rispetto a un asse (se l’asse è di simmetria per la figura il relativo momento statico è nullo e l’asse è baricentrico) e i momenti d’inerzia assiali e polari. Si definisce inoltre il momento centrifugo rispetto a due assi come l’integrale dei prodotti di aree elementari per le distanze dai due assi. Il momento d’inerzia polare è pari alla somma dei momenti d’inerzia assiali riferiti a due assi ortogonali passanti per il polo.

Ruotando gli assi si possono determinare le direzioni principali d’inerzia, rispetto a cui il momento centrifugo è nullo e i momenti d’inerzia assiali assumono valori massimi e minimi. Gli assi principali d’inerzia sono definiti dalla presenza di assi di simmetria.

La variazione dei momenti d’inerzia al traslare dell’asse è descritta dalla formula di Huygens (1629-1697). Tale formula di trasporto afferma che il momento d’inerzia rispetto a un asse generico è pari alla somma del momento d’inerzia di una asse baricentrico parallelo all’asse di partenza più il prodotto dell’area per la distanza al quadrato fra i due assi. Segue che il momento d’inerzia per l’asse baricentrico è il minimo fra quelli relativi a un fascio di rette parallele.

Un’ultima proprietà inerziale importante è quella del centro relativo. Si definisce centro relativo rispetto a una retta il baricentro dei momenti statici rispetto a tale retta. Per un’assegnata figura geometrica il centro relativo di una retta tendente all’infinito coincide con il baricentro della figura. Viceversa, il centro relativo di una retta baricentrica tende all’infinito. Si definisce nocciolo centrale d’inerzia di una figura geometrica il luogo dei centri relativi di tutte le rette tangenti ma non secanti alla sezione. Il nocciolo centrale d’inerzia è sempre una figura convessa che contiene il baricentro. Ad esempio, nel caso di un rettangolo il nocciolo centrale d’inerzia è un rombo centrato sul baricentro con assi di lunghezza pari a un terzo delle dimensioni dei lati del rettangolo.

Le proprietà di geometria delle aree descritte sono di importanza fondamentale nella trattazione della flessione semplice, pressoflessione, taglio ecc.